TOÁN GIẢI TÍCH 12 – BÀI 1 LŨY THỪA

I. Khái niệm lũy thừa

1. Khái niệm

Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

Chú ý: Trong biểu thức an:

• a gọi là cơ số
• n gọi là số mũ
• Với a khác 0, ta có:
• a0=1
• a−n=1n
• Đặc biệt: 00; 0−n không có ý nghĩa.

2. Phương trình xn=b

Biện luận số nghiệm của phương trình xn=b

TH n lẻ:

• Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.

TH n chẵn:

• b<0 => phương trình vô nghiệm.
• b=0 => phương trình có một nghiệm x=0.
• b>0 => phương trình có hai nghiệm trái dấu.

3. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dươngn≥2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an=b.

Ví dụ:  32=9

Khi đó:3 là căn bậc 2 của 9.

Biện luận số nghiệm của phương trình xn=b:

TH n lẻ và b∈R

• Phương trình có duy nhất một căn bậc n của b.
• Ký hiệu: b√n

TH n chẵn

• b<0 => Không tồn tại căn bậc n của b.
• b=0 => Có một căn bậc n của b là số 0.
• b>0 => Có hai căn trái dấu, là ±b√n.

Các tính chất của căn bậc n:

a−−√n.b√n=ab−−√n a√nb√n=ab−−√n (a−−√n)m=am−−−√n an−−√n={a(nlẻ)|a|(nchẵn) a−−√k−−−√n=a−−√nk

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ r=mn, trong đó m∈Z, n∈N∗. Lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

ar=amn=am−−−√n

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

• Ta gọi giới hạn của dãy số arn là lũy thừa của a với số mũ α.
• Ký hiệu: aα

aα=limn→+∞arn với α=limn→+∞rn

Chú ý:  1α=1,(α∈R)

II.Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:

aα.aβ=aα+β aαaβ=aα−β (aα)β=aαβ (ab)α=aαbα (ab)α=aαbα Nếu a>1 => aα>aβ<=>α>β Nếu a<1 => aα<aβ<=>α>β