TOÁN GIẢI TÍCH 12 – BÀI 1 NGUYÊN HÀM

I. Nguyên hàm và tính chất

1. Nguyên hàm

• Cho hàm số f(x) xác định trên K.
• Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x∈K.

Định lí 1

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

Định lí 2

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
• Ký hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C

                         Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).

2. Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1

(∫f(x)dx)′=f(x) ∫f′(x)dx=f(x)+C

Tính chất 2

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

Tính chất 3

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

Chú ý: Sự tồn tại của nguyên hàm

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm

II. Phương pháp tính nguyên hàm

1. Phương pháp đổi biến số 

Định lí 1

• Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C

Hệ quả

∫f(ax+b)dx1aF(ax+b)+C,(a≠0)

2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2

• Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

• Hay: ∫udv=uv−∫vdu  với v′(x)dx=dv,u′(x)dx=du