TOÁN GIẢI TÍCH 12 - BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I. Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Hình dáng đồ thị: 

• Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
• Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Ví dụ: Với hàm số có đồ thị như hình vẽ 

thì hàm số đồng biến trên khoảng (−∞,−1)∪(1,+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (-1,1).

II. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

1. Định lí

Đinh lí: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f′(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f′(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Chú ý: Mở rộng định lí: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f′(x)≥0 (f′(x)≤0) với mọi x thuộc K và f′(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi (i=1,2,...,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y=13x3−12x2−2x+2

Giải: Hàm số xác định với mọi x∈R. Ta có

y′=x2−x−2=0⇔[x=−1x=2

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞,−1)∪(2,+∞) và nghịch biến trên khoảng (-1,2).

Xem Thêm: Trả lời câu hỏi sgk toán giải tích 12, Đề thi kểm tra