I. Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là
- Nếu tồn tại số h>0 sao cho
f(x)<f(x0) với mọix∈(x0−h,x0+h) vàx≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tạix0 . - Nếu tồn tại số h>0 sao cho
f(x)>f(x0) với mọix∈(x0−h,x0+h) vàx≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tạix0 .
Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại
x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm sốf(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại
II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
III. Quy tắc tìm cực trị
Cách 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó
f′(x)=0 hoặcf′(x) không xác định. - Bước 3: Lập bảng biến thiên.
- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Cách 2:
- Bước 1: Tìm tập xác định.
- Bước 2: Tính
f′(x) . Giải phương trìnhf′(x)=0 và kí hiệuxi (i=1,2,...,n) là các nghiệm của nó. - Bước 3: Tính
f′′(x) vàf′′(xi) . - Bước 4: Dựa vào dấu của
f′′(xi) suy ra tính cực trị của điểmxi
Cụ thể
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số
Giải: TXĐ:
Ta có
Cách 1:
Bảng biến thiên
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại
Cách 2: Ta có
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại
Chú ý: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và