TOÁN GIẢI TÍCH 12 – BÀI 2 TÍCH PHÂN

TOÁN GIẢI TÍCH 12 – BÀI 2 TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số  liên tục trên đoạn  là một nguyên hàm của hàm số  trên đoạn . Hiệu  được gọi là tích phân của  từ  đến . Kí hiệu:

I = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)

2. Tính chất tích phân

Giả sử các hàm số  liên tục trên  là điểm bất kì thuộc . Khi đó ta có:

a) 

b) 

c) 

d) 

e)  

f)  

g) Nếu  thì 

h) Nếu  trên  thì .

II. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN

1. Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,...) các em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz:

ở đó,  là hàm liên tục trên  và  là một nguyên hàm của .

Bảng nguyên hàm

 

2. Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng , phương pháp chung là ta cố gắng phá dấu giá trị tuyệt đối hàm  trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng  rồi tính lần lượt các tích phân đó.

III. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

1. Kiến thức cần nhớ

- Vi phân:

- Công thức đổi biến: 

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến .

- Bước 1: Đặt , đổi cận  .

- Bước 2: Tính vi phân .

- Bước 3: Biến đổi  thành .

- Bước 4: Tính tích phân .

Ví dụ: Tính tích phân .

Giải:

Đặt  .

Đổi cận 

Do đó: .

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến .

- Bước 1: Đặt , đổi cận .

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế .

- Bước 3: Biến đổi .

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức 

Ví dụ: Cho I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}, nếu đặt x = \sin t thì:

A. I=2011+cos2tdt

B. I=011-cos2t2dt

C. I=011+cos2t2dt

D. I=01cos2t-12dt

Giải:

Đặt x = \sin t \Leftrightarrow dx = \cos t\,dt và 1 - {x^2} = 1 - {\sin ^2}t = {\cos ^2}t

Đổi cận 

Suy ra

I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {x^2}} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\sqrt {{{\cos }^2}t} \cos t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}{\rm{d}}t}

Chọn C.

IV. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

1. Kiến thức cần nhớ

Công thức tích phân từng phần:

Ví dụ: Tính tích phân I = \int\limits_1^2 {\ln tdt} .

Giải: Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\dv = dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dt}}{t}\\v = t\end{array} \right..

Khi đó 

2. Một số bài toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân   (trong đó  là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt 

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức 

Ví dụ: Tính tích phân I = \int\limits_1^e {x\ln x{\rm{d}}x.}

Giải: Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.

Khi đó 

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân . (trong đó  là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt 

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức 

Ví dụ: Tính 

Giải: Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 3\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = {e^x}\end{array} \right.

Khi đó I = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {2{e^x}dx}  = \left. {\left( {2x + 3} \right){e^x}} \right|_0^1 - \left. {2{e^x}} \right|_0^1 = 3e - 1.

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức.

Tính tích phân  hoặc . (trong đó  là hàm số đa thức)

Phương pháp:

- Bước 1: Đặt  hoặc 

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức  hoặc 

Ví dụ: Tính tích phân I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x\sin 2x{\rm{d}}x}

Giải: Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right..

Khi đó 

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân  hoặc .

- Bước 1: Đặt   hoặc 

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức 

Ví dụ: Tính K = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\cos 2x{\rm{d}}x}

Giải: Đặt \left\{ \begin{array}{l}u = \cos 2x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du =  - 2\sin 2xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.

Suy ra 

Tính M = \int\limits_0^\pi  {{e^x}\sin 2xdx}

Ta đặt \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \sin 2x\\d{v_1} = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d{u_1} = 2\cos 2x\\{v_1} = {e^x}\end{array} \right.

Suy ra 

Khi đó K = {e^\pi } - 1 + 2\left( { - 2K} \right) \Leftrightarrow 5K = {e^\pi } - 1 \Leftrightarrow K = \dfrac{{{e^\pi } - 1}}{5}

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

- Ở bước 1, ta cũng có thể đặt   hoặc 

V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Kiến thức cần nhớ

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục  và hai đường thẳng :

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  và hai đường thẳng :

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục  và hai đường thẳng  được tính bởi công thức:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  và hai đường thẳng được tính bởi công thức:

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình  tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức 

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. 3\ln 6

B. 

C. 

D.

Giải:

Đồ thị hàm số cắt Ox tại \left( {-1;0} \right), cắt Oy tại \left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right).

Hàm số y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} có  nên hàm số y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} nghịch biến trên \left( {-1;0} \right).

Do đó 

Do đó S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx

Chọn D.

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục  và hai đường thẳng  quanh trục 

Công thức tính:

Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục  và hai đường thẳng  quanh trục 

Công thức tính:

Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  giới hạn bởi các đồ thị hàm số  liên tục trên  quay quanh trục 

Công thức tính:

Dạng 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng  biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là .

Công thức tính:

 
Khi miền  giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Ví dụ: Cho đường cong  và đường thẳng . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh .

Ta có: 

 

Thể tích: 

Related posts:

Đăng nhận xét

Mới hơn Cũ hơn

Recent in Sports

Photography

Discuss

×Close
Icon-Zalo Zalo Icon-Messager Messenger Icon-Youtube Youtube Icon-Instagram Tiktok