1. Định nghĩa
Cho hàm số
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
y=f(x) trên tập D nếuf(x)≤M với mọi x thuộc D và tồn tạix0∈D sao chof(x0=M . Kí hiệuM=maxDf(x) . - Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=f(x) trên tập D nếuf(x)≥m với mọi x thuộc D và tồn tạix0∈D sao chof(x0=m . Kí hiệum=minDf(x) .
2. Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
- Tìm các điểm
x1,x2,...,xn trên khoảng (a,b) tại đóf′(x)=0 hoặcf′(x) không xác định. - Tính
f(a),f(x1),f(x2),...,f(xn),f(b) . - Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
M=max[a,b]f(x),m=min[a,b]f(x) .
Tổng quát: Muốn tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên TXĐ.
- Bước 1: Tìm TXĐ
- Bước 2: Giải phương trình
f′(x)=0 - Bước 3: Lập bảng biến thiên
- Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận.
Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
Giải: TXĐ
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng