TOÁN HÌNH HỌC 12 - BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Tọa độ điểm và vectơ

Ta có: OM−→−=xi→+yj→+zk→

=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).

Ta có: a→=a1i→+a2j→+a3k→

=> Bộ ba số (a1;a2;a3) là tọa độ của vectơ a→ với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: a→=(a1;a2;a3) hay a→(a1;a2;a3).

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3). Ta có:

a→+b→=(a1+b1;a2+b2;a3+b3) a→−b→=(a1−b1;a2−b2;a3−b3) ka→=k(a1;a2;a3) với k là số thực

==> Hệ quả:

a→=b→<=>a1=b1;a2=b2;a3=b3 0→=(0;0;0) a→,b→ cùng phương <=> a1=kb1;a2=kb2;a3=kb3 AB−→−=OB−→−−OA−→−=(xB−xA;yB−yA;zB−zA)

III. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3) xác định bởi:

a→.b→=(a1.b1+a2.b2+a3.b3)

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

a→=a21+a22+a23−−−−−−−−−−√

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho A(xA,yA,zA)  và B(xB,yB,zB), ta có:

AB=∣∣∣AB−→−∣∣∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa a→(a1;a2;a3) và b→(b1;b2;b3) là φ

cosφ=cos(a→,b→)=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23√.b21+b22+b23√

• Đặc biệt: 

a→⊥b→<=>a1b1+a2b2+a3b3=0

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2