TOÁN HÌNH HỌC 12 - BÀI 2 MẶT CẦU

I. Khái niệm mặt cầu

1. Khái niệm

• Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r, (r>0) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r.
• Ký hiệu:

S(O;r)

• CD được gọi là dây cung <=> hai điểm C, D nằm trên mặt cầu S(O;r).
• AB được gọi là đường kính mặt cầu <=> dây cung AB đi qua tâm O.
• AB=2r.

2. Điểm nằm trong và ngoài mặt cầu. Khối cầu

Cho S(O;r) và A là điểm bất kì trong không gian.

• OA=r => A nằm trên mặt cầu S(O;r).
• OA<r => A nằm trong mặt cầu S(O;r).
• OA>r => A nằm ngoài mặt cầu S(O;r).

==> Kết luận: 

• Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O;r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.

3. Cách biểu diễn mặt cầu

• Để biểu diễn mặt cầu, ta dùng phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng.
• Hình biểu diễn mặt cầu là một hình tròn.

4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

• Kinh tuyến mặt cầu là đường giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu.
• Vĩ tuyến mặt cầu là đường giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục.
• Hai cực mặt cầu là hai giao điểm của mặt cầu với trục.

II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

Cho S(O;r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của O lên (P).

=>h=OH là khoảng cách từ O tới (P).

1. Khi h>r

Với M là một điểm bất kì trên (P) => OM≥OH

=> OM>r hay ∀M∈(P).

==> Kết luận: (P) không cắt S(O;r).

 

2. Khi $h=r$

• Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại H.

 

 

3. Khi h<r

Ta có: r′=r2−h2−−−−−−√=MH

=> M∈(P).

• Khi h=0 => Tâm O của mặt cầu thuộc (P).

=> Giao tuyến của (P) và S(O;r) là đường tròn tâm O bán kính r.  ( gọi là đường tròn lớn ).

III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu

Cho S(O;r) và đường thẳng Δ. H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên Δ và d=OH là khoảng cách từ O tới Δ.

1. Khi d>r

Δ không cắt S(O;r).

=> M∀M∈Δ đều nằm ngoài S(O;r).

2. Khi d=r

• Điều kiện cần và đủ để Δ tiếp xúc với S(O;r) tại H là Δ vuông góc với bán kính OH tại H.

 

3. Khi d<r

Ta có: Δ cắt S(O;r) tại hai điểm M và N.

=> Hai điểm M và N là giao điểm của Δ với đường tròn giao tuyến của S(O;r) và mặt phẳng (O,Δ).

Đặc biệt: 

• Khi d=0 => Δ đi qua tâm O và cắt mặt cầu tại hai điểm A, B.

=> AB là đường kính của mặt cầu.

IV. Công thức tính diện tích và thể tích khối cầu

• Diện tích S của mặt cầu bán kính r bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó.

S=4∏r2

• Thể tích V của khối cầu bán kính r bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó.

V=43∏r3